原题链接为：
题意为一群孩子按圈排座位。可以看成是给一个项链染色，有两种颜色0和1，同时相邻处不能都染1，若两种染色方案旋转后相同则视为同一种方案。
从题意可以明显的看出，这是一道考察Burnside引理的数论题。首先，变换方式只有旋转，可以得出，答案应为\( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(gcd(i,n)) \)。其中f(x)为表示长度为x的一个循环节的染色方案数。在本题中，考虑最后一个涂1时，则f(x)=f(x-2)，最后一个涂0时，则f(x)=f(x-1)。所以f(x)=f(x-1)+f(x+2)。换言之，斐波那契数列。但是同时必须注意的一点是，f(1)=1。因为在循环节长度为1时，若涂1则项链每个环都是1，不符合题意。所以f(1)=1，f(2)=3，f(3)=4，f(4)=7…本人的做法是将f(0)设为2。同时需要注意的一点是，当n=1是，需要特判。对于斐波那契数列，理所当然的想到要使用矩阵快速幂。
同时，考虑到n的数值非常大，直接使用\( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(gcd(i,n)) \)计算是不可能的。所以对此式进一步简化为\(\sum _{d \mid n} f(gcd(d,n)) * \phi(n/d)\)，其中\( \phi() \)函数，即欧拉函数直接计算即可。
而对于\( \frac{1}{n} \)，因为10^9+7是质数，直接计算逆元即可。
下面是AC的代码：
1 #include"cstdio" 2 #include"cstring" 3 #include"string" 4 #include"cstdlib" 5 #include"vector" 6 #include"set" 7 #include"map" 8 #include"cmath" 9 using namespace std; 10 typedef long long LL; 11 12 const LL MOD=1000000007; 13 LL gcd(LL a, LL b) 14 { 15 if(b==0) return a; 16 return gcd(b,a%b); 17 } 18 LL powMod(LL x,LL n,LL mod) 19 { 20 LL res=1; 21 while(n>0) 22 { 23 if(n&1) res=res*x % mod; 24 x=x*x % mod; 25 n>>=1; 26 } 27 return res; 28 } 29 const LL MAXR=100; 30 const LL MAXC=100; 31 struct Matrix 32 { 33 LL m[MAXR][MAXC]; 34 LL r,c; 35 Matrix() 36 { 37 r=0,c=0; 38 memset(m,0,sizeof(m)); 39 } 40 }; 41 //若不能相乘，返回空矩阵 42 Matrix operator * (const Matrix &a,const Matrix &b) 43 { 44 Matrix ans; 45 LL r=a.r,c=b.c,x=0; 46 if(a.c!=b.r) return Matrix(); 47 x=a.c; 48 ans.r=a.r; 49 ans.c=b.c; 50 for (LL i=1; i<=r; i++) 51 for (LL j=1; j<=c; j++) 52 { 53 ans.m[i][j]=0; 54 for (LL k=1; k<=x; k++) 55 ans.m[i][j]=(ans.m[i][j]+a.m[i][k]*b.m[k][j]) % MOD; 56 } 57 return ans; 58 } 59 //若不能乘方，返回空矩阵 60 Matrix operator ^ (Matrix &base,LL pow) 61 { 62 if(base.r!=base.c) return Matrix(); 63 LL x=base.r; 64 Matrix ans; 65 ans.r=ans.c=x; 66 for (LL i=1; i<=x; i++) ans.m[i][i]=1; 67 while (pow) 68 { 69 if (pow&1) ans=ans*base; 70 base=base*base; 71 pow>>=1; 72 } 73 return ans; 74 } 75 LL eularPhi(LL n) 76 { 77 LL res=n; 78 for(LL i=2;i*i<=n;i++) 79 { 80 if(n%i==0) 81 { 82 res=res/i*(i-1); 83 for(;n%i==0;n/=i); 84 } 85 } 86 if(n!=1) res=res/n*(n-1); 87 return res; 88 } 89 //拓展欧几里得算法 90 //求ax+by=gcd(a,b)的一组解 91 //其他解为x=x0+kb',y=y0-ka' 92 //a'=a/gcd(a,b),b'=b/gcd(a,b) 93 LL extgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y) 94 { 95 LL d=a; 96 if(b!=0) 97 { 98 d=extgcd(b,a%b,y,x); 99 y-=(a/b)*x; 100 } 101 else { x=1; y=0; } 102 return d; 103 } 104 //求逆元 105 //a和ｍ应该互质 106 LL modInverse(LL a,LL m) 107 { 108 LL x,y; 109 extgcd(a,m,x,y); 110 return (m+x%m)%m; 111 } 112 LL f(LL x) 113 { 114 Matrix a,b; 115 a.r=1; a.c=2; a.m[1][1]=2; a.m[1][2]=1; 116 b.r=2; b.c=2; b.m[1][1]=0; b.m[1][2]=b.m[2][1]=b.m[2][2]=1; 117 return (a*(b^x)).m[1][1]; 118 } 119 int main() 120 { 121 #ifdef LOCAL 122 freopen("in.txt","r",stdin); 123 #endif 124 LL n; 125 while(scanf("%lld",&n)!=EOF) 126 { 127 if(n==1) 128 { 129 printf("%d\n",2); 130 continue; 131 } 132 LL ans=0; 133 for(LL i=1;i<=sqrt(n);i++) 134 if(n%i==0) 135 { 136 LL d=i; 137 ans=(ans+f(d)*eularPhi(n/d))%MOD; 138 d=n/i; 139 if(d*d==n) continue; 140 ans=(ans+f(d)*eularPhi(n/d))%MOD; 141 } 142 printf("%lld\n",ans*modInverse(n,MOD)%MOD); 143 } 144 return 0; 145 }